概率

三个跟概率有关的问题

问题一,这个问题来源于一个游戏,说有ABCD四个人,A坐庄,要在纸片上写下1234四个数中的一个,由他的下家B开始猜,猜之前往杯子里倒酒,倒多少 随意,如果猜中,则杯里的酒由B 喝,猜不中的话,C随意倒酒,继续猜,猜中喝酒。如果最后大家都没猜中,那么庄家喝杯里所有的酒。第一轮中谁喝酒,谁就是下一轮的庄家。

以下不考虑其他因素(比如酒的多少造成的不公平),仅仅抽象成一个数学模型。对B角色的判断最简单:他显然有1/4的概率猜中;对于C的判断是个关键,在 整个游戏没开始的时候,B能不能抽中是个不确定的状况:在他抽中的前提下,C不必再冒风险,全无喝酒的可能;而在B没有抽中的前提下,C抽中的可能是 1/3.这实际上是说,在游戏一开始,我们想判断C要喝酒的概率,应该是3/4×1/3=1/4.对于D,完全给以的考虑,可以算出,他喝酒的概率为3 /4×2/3×1/2=1/4。

评论:其实这是一个很简单的全概公式的应用。但是不认真思考,很可能觉得B喝酒的概率小些。只消注意到,B抽签这个行为,是对后面的人有影响的。其实,换 一个角度来想这个问题:C,D和A喝酒的概率都会由于B没喝这个事实而收到了一些影响,因此导致1/3,1/2和1都不可能成为答案。

问题二:该问题颇有名气 英文叫Monty problem ,甚至在今年的电影“21”《决战21点》中 还作为一个吸引人的噱头。我本应把这个问题放在第一位,但是我担心有人坚持不下来,就再前面先写个短的。毕竟我写得这个是个介绍性的帖子。我自己也担心写写就陷入计算中去了。

三张扑克牌,其中有一张是大王,游戏者选中为胜。当游戏人选了一个张之后,无论怎样,主持人在知道他首次的选取情况的基础之上 ,从剩下的两张之中翻开一张不是大王的牌 。问题:此时,游戏者应当保持自己原先的选择,还是换选最后那张?

其实,由于最后的选择只有两个,我们知道,这两个的概率之和只能是1,所以我们想做的就是找到他们是大王的概率各是多少。这在数学上叫做分布(分布是一个 很重要的数学概念,显然这里只是一种简单的情况)。分析这个问题的关键在于,主持人的所作所为是不会影响到游戏者在第一次就选中的概率的。即是说,游戏者 首次以选中的概率应该是1/3,而后面后面主持人做得事情是无论如何都能够做,而且没有给游戏者任何多余的信息(注意条件中的黑体字)。我们再继续思考一 步就发现,主持人就是将剩下的两张牌的概率集中在了一张牌上。到此,问题已经得到解决。游戏者还牌是正确的选择。抽中的概率将由1/3变为2/3。

我不想就此结束,注意:如果仅在黑体字部分修改一下条件,我们重新来看这个问题,也许要稍微复杂一点。

三张扑克牌,其中有一张是大王,游戏者选中为胜。当游戏人选了一个张之后,主持人在不知道他首次的选取情况的基础之上 ,从剩下的两张之中翻开一张,恰巧不是大王的牌 。问题:此时,游戏者应当保持自己原先的选择,还是换选最后那张?

这回,黑体字的含义有了根本的区别。主持在翻牌的时候也同样不了解状况,于是他的行动会对游戏者产生影响。这种影响的方式就是,主持人选了一张,如果是大 王,那么游戏者可以直接判断自己的一定不是;而主持人选的不是大王,这个事件显然影响了游戏者手中牌的分量,增值了,概率变大了。而概率是多少呢?还得从 头开始计算。当游戏者以1/3的概率选中,我们的主持人就没有机会了;在游戏者以2/3的概率没有选中的时候,我们的主持人也没有选中的概率实际上是2 /3×1/2=1/3,于前一种情况一样大。因此,游戏人虽没有选中,但是究竟是在第一种情况,还是第二种情况才是我们所需要问的问题。而由上面的分析, 两者发生的概率都是1/2.

这实际上在初等概率论种叫做逆概公式。

至此,我们已经接触了两种重要的公式:全概公式和逆概公式。他们基本上构成了我们日常所涉及到了全部概率问题。(不包括经济或者金融相关的复杂问题,那些问题可能需要更高级的概率理论基础。)

评论:该问题的提出实在美国,曾经引起过争议。其中心问题就是题目含义不清。上面的两种提法是最主要的两种。一个概率问题,常常会因为题意不清而导致争 论。著名华裔教授钟凯莱曾经对此有精辟的论述。他在《初等概率论附随机过程》中提到:“如果问题的叙述中有模棱两可的地方,不要回避。这是一个语义上的问 题。如有必要,试一试各种解释。无论如何,不要利用文字的不确定性或者教师的疏忽,而把一个合理的问题变成一个没有什么意义的问题。”

问题三,这个问题严格地说不算数学问题,相当于一种纯粹理性观念的建立。当时我在旁听一门化学的研究生课程的时候亲耳听教授讲的,至今怀着很鄙夷的态度。 该教授在上课的时候提到一个概率问题如下:在单位球面上随机给出4个点,则它们四个落在一个半球上的概率是多少。我不想在这里仔细介绍这个题目的解题方 法,它涉及到微积分知识以及一些公式,有兴趣的朋友可以思考一下。我想说的是,这位教授当时抨击了数学整个行业。他说:“这问题要是学数学的人来算就高的 很麻烦,那群人有毛病。我们研究化学的,只需要模拟一下,大量实验,就可以算的出来。”

由于这人是著名学府中的理科教授,因此我意识到,很多人都严重的缺乏科学观念。就事论事的讲,刚才那道题目,我没有记错的话,结论是有一个Pi在其中。那 么请问这位教授,是如何通过实验的方法把这个结论算出来的呢?就算一个问题的答案是1/2,那么怎样用试验的方法推出来呢?你试验的两亿次,结果1亿零1 次是A,一亿减1次是B,这个结论能告诉我们什么呢?

纯粹理性的观念,按照我的理解,就是类似上面所说的东西。数学中最吸引人的一部分内容都跟悖论有关。在历史上,甚至引发过三次著名的数学危机,无不是有相 关的悖论。这些悖论迫使人们划清概念,打牢基础,为整个科学的进一步发展扫清障碍。悖论,究其根本,就是人们在纯粹理性观念的判断标准下无法或者暂时无法 解说的命题或者论断。如果没有纯粹理性,那么何来的悖论,你说一个理由,我说一种解释,大家如何判断那一个更正确?

显然,平常人不要紧,毕竟生活中转牛角尖属于有毛病。但是如果走上科研道路,我要说,拥有纯粹理性的观念是最起码的要求,不然,还是另谋他业吧。

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