我看不懂

我们最后这个帖子数学的味道要足一些。数学的魅力在于两个方面。它本身就是一个深不见底的宝藏。即使没有与任何其他学科发生关系,它也常会让我们感到对这个世界的认识的加深。另一方面,它对其他学科的影响真的是匪夷所思。永远都是出人意料。 我在前面所写的两个例子出处都不大好考证,在这里和这里。很多人认为他们被提出来的历史是一定很久了,但是并不见得是以如今的方式出现的。但是他们都跟一个叫做“公共知识”的概念相关。说一个事件对甲乙两人是“公共知识”是指不但对这件事甲知道;乙知道;甲知道乙知道;甲知道乙知道甲知道;依次类推。不妨认为这件事情在甲乙两人都在场的时候被公开宣布过了。电视剧friends中有一段对此的精彩演绎。 发表于1976年的The Annals of Statistics上的论文:Agreeing to disagree.从数学的角度探讨了这个概念。论文作者是以色列/美国数学家Robert Aumann。他于2005年获得诺贝尔经济学奖。 这篇文章,是我读过的最精彩的应用数学论文,简单清楚,在配合上一些例子,基本上不需要很多数学知识便可以读懂。而且通过这篇论文,我们对前面两个例子可以有很好的理解。但文章本身所使用的数学语言有一点过于专业。其实作者仅仅证明了很简单的情况,在这个情况下是没有应该可以避免使用概率论的专门语言的,我在这篇帖子中把这个篇论文的主要内容重新整理一下,增加一些我自己的理解和评论。 首先,我们假定这个世界上的一切可能的状态放在一起是个集合叫X,并在这个集合上定义一个概率(测度),而我们仅仅研究X中的代数是一个有限的子集族的情况。但是,我不知道我们如何能够肯定这个“一切可能”的状态所组成的空间的确是一个集合 。我们说甲对这个世界的了解可以分成一个有限的不交并,无妨计做,即是说,甲对这个世界的了解只能清楚到如此一个程度:比如一个子集合P中的一个状态是实际发生了的状态,他并不能区分和中的另外一个状态.举个例子,我对这个世界上很多事情都无从了解,像前不久波兰发生的总统专机坠毁事件,我只知道一个结果。(暂且假定新闻报道出来的都没有失实)而和这个结果相符合的可能发生的事情,即理解为这个世界的状态,我无法在给以细分了。我们同样的也给乙一个相应的X的分解 我们首先说如果真是状态是,而即一个X的子集E包含,就说事件E发生了。比如,继续上面的例子,{坠机事件是个意外}和{坠机事件人为造成的}这两个集合可以看成是两个包含的事件。这两个事件也可能做交集,做并集,其意义都是非常明显的。 在这些假定的基础之上,我们引入第二个重要的定义,便是“公共知识”。我们要在这个概率空间中找到和前述的“公共知识”的概念相符合的数学定义。首先,我们说甲的分解中刚好有一个(为了方便仍然使用)包含实际状态。我们说,甲知道E意思是E是包含的。继续,由于甲是不能区分中的元素的区别的,因此如果甲将状况确定到了之后,他发现所有跟相交不空的那些个全都并在一起仍然包含在E中,那么他就可以确认,这个真实状态在乙那里所对应的某个也一定在E中,这时候我们说甲知道乙知道E。依次类推。 我们对X进行新的两种分割。第一种叫做甲和乙的粗化,即这种分割中的每一个子集都同时可以分成一些(或者一些)的并.而且我们要求这个分割无法再在满足上面前提基础上继续下去了。(注意这一条也很关键,否则整个X本身就满足条件,即不分割。)相应的,我们还要定义个细化分割,满足任何一个或者都可以分成若干的的(不交)并。我们仍然得要求细化是这样的分割中最粗的,没有比它集合数目更少的分割可以达到同样目的了。 有了这么两个概念之后,我们首先考虑所有诸如,我知道你知道这样的事件到底能跑到什么地方去。其实答案便是我们定义的粗化,即包含的那个相应的是这样的事件,无论在甲乙两个人你知道我知道多久之后,他们都不会把相应的E扩大到.换句话说,实际上就是满足所有的“甲知道乙知道…;乙知道甲知道乙知道…”,话句话说,我们说这个为公共事件,而所有包含的事件也都是公共事件。 接下来,我们在甲乙的细化分割上定义概率测度,即定义以及。并且我们规定这个概率的定义是甲和乙的共同基础,这个定义他们都是知道的。这时,我们终于可以证明这个论文中唯一的一个定理,如下(为此我们假定,包含的两个分割中集合分别是和) 定理:令,然后令和是两个数,则如果条件概率和都对于来说为公共知识,则 证明:令T是甲乙粗化分割中包含的那个集合。则我们知道T可以写成一些的不交并。由于是公共知识,意识是上式在整个T中一直成立,因此可以推出;同理,可以推出,即 我们这时再来看前面的红眼睛蓝眼睛岛民的问题。 我们为了简单起见,仅仅设岛上有两个岛民甲乙,一个蓝眼睛一个红眼睛。那么全集有四个元素: {甲红乙红,甲红乙蓝,甲蓝乙红,甲蓝乙蓝}。我们说,由于甲不知道自己眼睛颜色,他的分割为P_1= {甲红乙红;甲蓝乙红} P_2= {甲红乙蓝,甲蓝乙蓝}.而相应的乙的分割也容易写出来:Q_1= {甲红乙红,甲红乙蓝} Q_2={甲蓝乙红,甲蓝乙蓝}.在这个极其简单的情形下,我们发现,细化就得到了每一个单点集组成的集合;粗化则只包含全集,既实际上没有分割。对甲来说,是确定了在P_2中。于是,外地人的一句话:有蓝眼人,使得第二天自杀。当人数多一些的时候,我们必须的推广这个定理,使得有限个参与者面对公共知识也有相应的,比如说,.而注意每天中午是不是有人自杀,则在一步步的把每个人所掌握的事件通过这种交流方式变成了公共知识,从而最终一切大白天下。把这几点问题想清楚要注意到概率如果来定义,留作习题。

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I am a Chinese university student.
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